数学是人类研究和认识宇宙的一个有力工具，但没有人知道为什么数学可以很好地描述自然。不管怎样，数学确实是一种很好的经验事实。正因为如此，人类可以用数学公理来阐述理论并从中得出结论。虽然这并不是物理学理论在历史上的发展方式，但这是思考理论和数学之间关系的好方法。

数学在物理学中的作用

无论是粒子物理学标准模型，还是广义相对论，或者是弦理论，现代物理学理论都是用数学术语来表述。然而，要得到一个具有物理意义的理论，仅靠数学是不够的，还需通过观测自然和宇宙来验证。

在过去的几个世纪里，物理学家学到的最重要的一课就是如果一个理论有内部矛盾，那这个理论就是错的，而不是宇宙的问题。所谓内部矛盾指是理论的公设会导致相互矛盾的陈述，举个例子，一个物理量被定义为概率，而它的值大于1，这显然是错误的。

另一方面，如果一个物理学理论做出的预言与观测结果完全不一致，那么，这个理论也是错误的，但这不是本文所要讨论的。本文的观点是，自然法则在某种程度上是“不可避免的”，因为我们可以从假设公理中推导出结果。

即使你从未听说过“认识论”，也很容易看出这个观点是错误的。我们可以从公理中推导出的结果与假设公理一样“不可避免”，这意味着结果不是不可避免的。但这个想法是错误的，这并不是有趣的部分。有趣的是，它仍然受到物理学家和科学作家的欢迎，他们似乎相信物理学可以神奇地自我解释。

从何处获得物理学理论的公理？

根据现有的知识，物理学家用最有效的方法来描述所观测到的现象。当然，一旦物理学家写下了一些公理，那么从这些公理中衍生出的任何东西都可以说是一个不可避免的结果，这就是内在一致性的要求。

然而，公理本身永远不会被证明是正确的，所以公理本身也永远不会是必然的。我们只能在公理所产生的预测与观测结果一致的情况下，才能说它们是“正确的”。

这不仅意味着我们将可能会发现一套不同的公理，它可以更好地描述实验结果。更重要的是，任何关于自然法则必然性的说法，实际上都是我们无法为所观测到的现象找到更好的解释。

数学上的自洽并不意味着理论正确

事实上，某些公理给出结论的必然性与自然法则本身的必然性之间的这种混淆，并不是无害的。弦理论是一个典型的例子，弦理论学家坚信他们一定是在正确的轨道上，仅仅因为他们成功地构建了一个基本一致的数学结构。虽然弦理论在数学上的自洽是对自然的正确描述所必需的，但这还不够。数学结构一致性并不能直接表明，理论所假设的公理是否能很好地描述观察结果。

类似的情况也适用于圈量子引力论，相关的物理学家认为背景独立性（时空的几何结构是一个动态量，而非一成不变）是不言而喻的真理。类似地，有些物理学家认为统计独立性是真理。然而，数学公理并非宇宙真理，它在现实中可能有用，也可能没用。

除此之外，物理学家误解数学在科学中的作用还有一个代表性的例子，那就是多元宇宙理论，或称平行宇宙理论。

如何选出正确的物理学理论？

如果一个物理学理论引起了内部矛盾，这意味着至少有一个公理是错误的。但是消除内部矛盾的一种方法是简单地抛弃公理，直到矛盾消失。

放弃公理并不是一种科学上卓有成效的策略，因为这样最终得到的理论是模棱两可的，无法做出有效的预测。但这是一种方便、省力的方法，可以解决数学问题，所以在物理学中很流行。

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