第 16 届中国东南地区数学奥林匹克主试委员会成员：熊斌、何忆捷（华东师范大学），李胜宏、杨晓鸣（浙江大学），柳彬（北京大学），李铁城（清华大学），吴泉水（复旦大学），罗晔（香港大学），张鹏程（福建师范大学），董秋仙（南昌大学），吴根秀（江西师范大学），陶平生（江西科技师范大学）

高一年级

1. 求最大的实数k,使得对于任意的正数a 、 b, 均有

董秋仙供题

张鹏程供题

4. 将一个 2 x 5 的方格表先按照水平方向或竖直方向放置，再去掉其四个角上的任意一格，剩下由 9 个格组成的八种不同图形皆称为 “ 五四旌旗 ” 或 “ 八一旌旗 ” ，简称 “ 旌旗 ” ，如图 2 所示.

现有一个固定放置的 9 X 18 的方格表.若用 18 面上述旌旗将其完全覆盖，共有多少种不同的覆盖方案?说明理由.

5. 称集合 S= |1 928,1 929,-,1 949} 的一个子集 M 为 “ 红色的 ” 当且仅当 M 中任意两个不同元素之和均不被 4 整除.用x,y分别表示 S 的红色四元子集、红色五元子集的个数.试比较x,y的大小，并说明理由. (杨晓鸣供题)

6 . 已知 a 、 b 、 c 为给定的三角形的三边长.若正实数 x 、 y 、 z 满足 x + y + z = 1 , 求

axy + + byz + + czx 的最大值. （李胜宏供题)