1 引言

自然界中树木种类繁多，相应地，树叶的种类数不胜数。国内外鲜有针对树叶总质量计算进行的研究。众所周知，植物叶片是植物进行光合作用和蒸腾作用的主要器官。因此，该项研究对于预测绿色植物排放的碳氢化合物的量和促进施肥技术发展有一定的实用意义，有助于实现节能减排和提高农作物产量。因此，我们从数学建模的角度做出尝试，建立简易的树叶总质量计算模型。

由于自然界树木种类繁多，一一探讨则任务量巨大。本篇论文仅以中国的杉树为例，对树冠建立数学模型进行分析。

2 理想假设条件

将杉树的树叶看作一个整体，即将树枝和树叶组成的树冠部分看作一个圆锥体。

在自然环境中，树冠部分为了最大限度地利用日光进行光合作用，呈辐射状生长，其垂直射影趋向于圆形。同时，树木为了与周边树木竞争日光资源，树冠的顶部会尽量竖直向上生长。两个因素综合作用的结果是，树冠大致呈圆锥体。因此，在建立数学模型的过程中，我们用圆锥体代表杉树树冠部分的轮廓。

假定树枝被移除，圆锥体内仅有树叶和空气，建立理想化模型。因为空气的密度与树叶的密度相比非常小，在计算杉树树叶总质量的过程中，仅考虑树叶的质量，忽略其间空气的质量。

在以上理想假设条件的基础上，设定模型参数，增加限定条件并考虑相关数据，使用微积分和曲线拟合的方法计算得到杉树树叶的总质量。

3 建立树叶总质量计算模型

在现实中，树木不符合理想假设条件。因此，要通过逐步增加限定条件使模型逐步接近实际情况。

诚然，实际的树冠不完全呈圆锥形。为了研究的方便，该模型采用内外两个圆锥体表面代表树冠的内轮廓和外轮廓。把全部树叶覆盖区域分为上部和下部两个部分。把下部的树叶和空气混合部分的平均密度视为变量，把上部的树叶和空气混合部分的平均密度视为常量。

ρ(r)：某处树叶和空气混合部分的平均密度，其中r是该处到圆锥体中轴线的距离。

基本模型如下图所示：

图2(a) 正视断面图

图2(b) 俯视断面图

3.3 树叶和空气混合部分的平均密度问题

取一片树叶作为研究对象。忽略空气质量，近似地将一片树叶的质量视为长方体的质量。为了计算的方便，设长度为L，宽度为W，厚度为W。

长方体底面积S=L·W.

事实上，树叶的宽度和厚度并不相等。但由于同一棵树上的树叶在形状上差异较小，因此树叶厚度与宽度的关系、树叶长度与宽度的关系是近似不变的，可以用等价系数k在体积计算中体现这种关系。得到长方体的体积V=k·S1.5。

由长方体的质量和体积，易得长方体的平均密度。用MATLAB软件进行曲线拟合，得到至圆锥体中轴线的距离不同的各处的树叶和空气混合部分的平均密度，

相应的函数如下：

3.4 计算树叶的总质量

定义变量r1和r2,

设微元dh到底部的距离为h。

简化三重积分，得到树冠下部的树叶总质量为

加入树冠上部的树叶总质量，得到该杉树的树叶总质量为

其中ρ（R0）是上部树叶和空气混合部分的平均密度，k'为简化的等价系数。

在MAPLE 7.0中带入初始数据，运行结果表明，树叶的总质量为38.Kg。

4 结论

本篇论文旨在探究树叶总质量的计算。通过测量树冠高度和树冠的垂直射影半径，得到树叶体积、树叶和空气混合部分的平均密度等参量。根据树叶的相关采样数据，通过数据拟合得到平均密度曲线，通过体积积分的方法计算杉树树叶的总质量。本文建立的数学模型以圆锥形树冠的杉树为例，计算方法可以推广到其他有规则树冠的树木，如半球形树冠的树木（馒头柳等）。该模型的优点简单易行，缺点该模型受树冠影响很大，不适用于不规则形状的树冠。

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