【电子与信息科学 / Electronics and Information Science】 背景模型是一种检测运动物体的常用方法．通过将当前帧与背景相减，可以得到前景，以此进行物体分割、检测和追踪[1-5]．背景是包含静止物体的场景，如房子、树、墙壁及家具等．前景则是非静止的物体，包括运动的汽车、行走或跑动的人．由于背景随着物体的运动而动态变化，如原本静止的汽车离开了，或者是运动的人静止了，因此，需要自适应地更新背景模型． 当从一系列的帧之中提取背景时，由于这些帧的背景是一致的，可以认为背景是这些帧的主要成分，而前景为稀疏成分．因此，可以采用子空间的方法，如主成分分析(principal component analysis, PCA)[6]和非负矩阵分解(non-negative matrix factorization, NMF)[7]，对一系列帧提取其主要成分．这些主要成分就是所需要的背景，通过将一帧在这些成分张成的子空间上进行投影，再重构回来，就可以得到这帧的背景表达．于是，前景可以通过此帧与背景的相减得到． 然而当背景变化时，由于PCA和NMF只能处理静态的数据，因此它们需要将所有帧重新进行分解，这样会非常耗时．监控视频数量的不断增长迫切需要高效率的自适应背景建模算法[8-10]．Bucak等[11]提出增量子空间学习的方法，采用重构误差作为目标函数，在求解过程中利用之前得到的子空间信息，自适应地更新子空间，从而加快分解速度，有效对自适应背景建模．然而，Bucak的方法每次只能增量地学习1帧．若需要增量学习多帧，则算法需要执行多次，这样就降低了算法的效率．Cao 等[12]提出利用在线非负矩阵分解(online non-negative matrix factorization, ONMF)来检测和追踪潜在因子．因子是随着数据流而动态变化的，ONMF能较好追踪到变化的因子，成功运用到了主题检测． 本研究利用ONMF算法进行动态的背景建模，称此方法为增量非负矩阵分解(incremental non-negative matrix factorization, INMF)．与文献[11]的方法相比，INMF方法能同时处理多帧，因此具有更好的计算效率．实验结果表明，INMF不仅在计算时间上，而且在前景检测上，都要优于NMF． 1　非负矩阵分解 NMF的思想是将一个非负矩阵V近似分解为2个非负矩阵的乘积，即 Vm×n≈Wm×rHr×n 其中， Wm×r和Hr×n都是非负矩阵； r为基向量的个数，一般选择r满足(m+n)r<mn， 以减少数据存储空间．W的r列称为基图像，H的每一列称为系数． V和WH之间的误差定义为[6] NMF要解决如下最优化问题 s.t.W≥0,H≥0. 以上最优化问题可用如下迭代公式求解[13] 文献[13]证明了目标函数(1)在上述迭代算法下是非递增的． 2　增量非负矩阵分解 利用传统NMF对数据流进行处理是不现实的．假设在t时刻得到数据V, 并采用NMF算法得到如下分解： V=WH 在t+1时刻，有新的数据U到达．因此，数据矩阵变为 显然，直接分解非常耗时．因此，需要利用已有的W和H来计算和， 此即为增量学习问题．本研究采用INMF算法对视频流进行增量学习，INMF算法源于文献[12]．为此，引入如下引理． 引理1[12]　若V=WH和V=W′H′是V的两个满秩分解，那么存在可逆矩阵P， 满足W=W′P和H=P-1H′． 考虑分解 因此， 1．由于V=WH， 根据引理1建立因子之间的联系为 其中， P为可逆矩阵．于是，分解问题(2)转变为 s.t. P反映了旧因子W与新因子之间的联系． 为了求解问题(4)，考虑如下分解 可得 而意味着通过设置可得问题(4)的解． 由式(3)可得H, 于是问题(2)的解为 更新规则为 由于的大小比要小得多(W比V要小得多)，所以采用INMF比采用NMF要快得多．考虑NMF和INMF的计算复杂度，设V∈Rm×n, W∈Rm×r, U∈Rm×p, r<n, 则NMF的计算复杂度为O(mr(n+p))， INMF的计算复杂度为O(mr(r+p))． 由于r<n， 所以INMF比NMF更快． 3　背景模型实验 3.1　实验数据库及实验方法 在背景模型实验中，我们使用PET2001的 “dataset1_camera1” 的视频数据库[14]．这段视频时长2 min 2 s，共3 064帧，每帧大小为576×768．为提高计算效率，每帧采样都降到144×192，然后排成144×192=27 648维的列向量． 通过两部分实验比较INMF和NMF的运算时间和重构误差．具体实验设置分别在3.2和3.3小节介绍．所有实验均取r=2， 即只有2个背景基．新到的测试帧v投影到这两个背景基组成的子空间,再用基重构，得到v在子空间的表达为 其中， W+为广义逆．重构误差使用Frobenius范数，即 在INMF中，采用加权方案以刻画老因子对新背景模型的贡献，其中，加权因子为．此时，新因子的更新公式为)-1. 3.2　动态背景建模结果 在第1部分实验中，第1次选取181～200帧及281～290帧，共30帧用NMF做训练，然后选取第250帧做测试．随后新的视频流2 781～2 790帧到达，这时背景已发生变化，此时分别用NMF和INMF做训练，然后用第2 800帧做测试，比较运算时间与重构误差．第1次训练的第181帧和第2次训练的第2 781帧见图1．值得注意的是，第2次训练时，背景已发生变化，图1(a)中标注车辆在图1(b)中已消失． 第1次训练的两个背景基见图2(a)和图2(b)．也许是因为训练帧里都包含前景的人，所以背景基不能很好地将人剔除出去．将测试帧投影到子空间的图像和提取的前景见图2(c)和图2(d)．可见，NMF能够提取出需要的前景图像． 第2次训练时，有新的帧到达，NMF和INMF分别使用第2 781～2 790帧训练，提取的背景基分别见图3(a)、图3(b)和图4(a)、图4(b)．由于背景变化了，而INMF进行加权方案，新到的帧对背景基的贡献更大，所以INMF提取的背景基效果会更好一些． 图1　第1次训练和第2次训练的帧Fig.1　The frames in the first and second trainings 图2　第1次训练的结果Fig.2　The results of the first training 图3　NMF的结果Fig.3　The results of NMF 图4　INMF的结果Fig.4　The results of INMF 将测试帧投影到NMF训练出的子空间的图像和提取的前景见图3(c)和图3(d)；同样，投影到INMF训练出的子空间图像和提取的前景见图4(c)和图4(d)．可见，INMF能很好地将前景提取出来，而NMF则留有残影．NMF和INMF的重构误差与运行时间见表1．可见，INMF具备更小的重构误差及更快的运算速度． 表1　重构误差与运行时间比较Table 1　Comparisons of reconstruction error and running time算 法重构误差运行时间/ 3.3　运算时间与重构误差比较 在第2部分实验中，首先选取181～280帧总共100帧作为第1次训练，随后新的视频流到达，分别采用NMF和INMF对新到达的数据做第2次训练．新的视频流分别选取2 781～2 800、2 781～2 820、2 781～2 840、2 781～2 860及2 781～2 880帧5种情况，然后用第2 900帧做测试，比较运算时间与重构误差．此时p的取值分别为20、40、60、80和100． NMF和INMF算法的运行时间和重构误差如图5．可见，INMF用时比NMF少，且两个算法的运算时间随着帧数的增加呈线性增长趋势．同时，INMF具备更小的重构误差．当帧数很少时，INMF的重构误差显著低于NMF，表明INMF只需少量的新数据流即可取得不错的结果．在帧数增加时，NMF的重构误差渐趋于INMF．这说明新数据流足够多时，两个算法的结果比较接近． 图5　运行时间与重构误差Fig.5　Running time and reconstruction error 结　语 本研究使用INMF进行自适应背景建模．与静态NMF相比，INMF能很好地根据视频流进行背景模型更新．通过实验比较，INMF能够提取出更好的前景，并具有更短的运算时间．下一步工作可考虑使用二维或张量非负矩阵方法进行背景建模，这样可以更有效地提高运算效率，满足视频监控的实时要求． [1] Jeeva S，Sivabalakrishnan M．Survey on background modeling and foreground detection for real time video surveillance[J]．Procedia Computer Science，2015，50：566-571． [2] Bouwmans T．Traditional and recent approaches in background modeling for foreground detection：an overview[J]．Computer Science Review，2014，11(12)：31-66． [3] Cristani M，Farenzena M，Bloisi D，et al．Background subtraction for automated multisensory surveillance：a comprehensive review[J]．Eurasip Journal on Advances in Signal Processing，2010，43(24)：25-31． [4] Bouwmans T， El-Baf F，Vachon B．Statistical background modeling for foreground detection： a survey[J]．Handbook of Pattern Recognition and Computer Vision，2010，4(2)：181-199． [5] Radke R，Andra S，Al-Kofahi O，et al．Image change detection algorithms： a systematic survey[J]．IEEE Transactions on Image Processing，2005，14(3)：294-307． [6] Jolliffe I T．Principal component analysis[M]．New York, USA: Springer-Verlag，1986． [7] Lee D，Seung H．Learning the parts of objects by non-negative matrix factorization[J]．Nature，1999，401(6755)：788-791． [8] Zhang Xiaoguo， Huang Tiejun，Tian Yonghong，et al．Background-modeling-based adaptive prediction for surveillance video coding[J]．IEEE Transactions on Image Processing， 2014，23(2)：769-784． [9] Popa S，Crookes D, Miller P．Hardware acceleration of background modeling in the compressed domain[J]．IEEE Transactions on Information Forensics and Security，2013，8(10)：1562-1574． [10] Rodriguez P, Wohlberg B．A Matlab implementation of a fast incremental principal component pursuit algorithm for video background modeling[C]// IEEE International Conference on Image Processing. 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